魏尔斯特拉斯函数

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       魏尔斯特拉斯(Weierstrass,Karl Wilhelm Theodor),1815年生于德国威斯特代利亚地区的奥斯登费尔特,1897年2月19日卒于柏林.
　　在校期间, 魏尔斯特拉斯研读过拉普拉斯的《天体力学》和雅可比的《椭圆函数新理论基础》。前者奠定了他终生对于动力学和微分方程论感兴趣的基础，后者对他当时的数学水平稍难了些。他还钻研过斯坦纳的一些论文，后来成为斯坦纳数学论著的编篡者。不过，这段时间，阿贝尔是他最大的鼓舞源泉。他在晚年给李的信中说：在 1830年的《克雷尔杂志》上读到阿贝尔致勒让德的信，"在大学生涯中对我无比重要，从确定λ(x)（阿贝尔引进的函数）满足的微分方程来直接导出其表示形式，这是我自己确立的第一个数学课题；我有幸的到了这个问题的解。这促使我下决心献身数学，我是在第七学期作出这个决定的。"1838年秋，他令人惊讶的放弃成为法学博士候选人，因此离开波恩时他没有学位。


　　1839年5月，魏尔斯特拉斯到明斯特附近的神学哲学院，遇到了使他终身铭记的古德曼。古德曼热忠于椭圆函数，其基本思想是把函数展开为幂级数，这正是魏尔斯特拉斯的解析函数论的基石。

　　1840年2月，魏尔斯特拉斯报名参加中学教师任职资格国家考试。古德曼应魏尔斯特拉斯的请求为笔试出了一个很难的数学问题：求椭圆函数的幂级数展开。而对于自己学生论文给予了高度评价。1841年4月，魏尔斯特拉斯通过口试，在明斯特文科中学见习一年。1840至1842年1月，魏尔斯特拉斯写下了4篇论文：《关于模函数的展开》，《单复变量解析函数的表示》，《幂级数论》，《借助代数微分方程定义的单复变量解析函数》（但直到他的全集刊印才面世）。这些论文显示了他建立函数论的基本思想和结构，其中有用幂级数定义复函数，椭圆函数的展开，圆环内解析函数的展开（早于罗朗两年），幂级数系数的估计（独立于柯西），一致收敛概念和解析开拓原理。

　　1848年秋魏尔斯特拉斯转至东普鲁士不伦斯堡的皇家天主教文科中学，在该校年鉴上发表了《关于阿贝尔积分论》，这是一篇划时代的论文，可惜无人察觉。

　　1853年，魏尔斯特拉斯在父亲家中度假，研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心写作关于阿贝尔函数的论文。该论文于1854年发表于《克雷尔杂志》，引起数学界瞩目。克雷尔说它表明作者已列入阿贝尔和雅可比的最出色的后继者的行列。刘维尔称它?quot;科学中划时代工作之一"，并立即译成法文发表在他所创办的《纯粹与应用数学杂志》上。雅可比的后继者、柯尼斯堡大学教授里歇洛说服校方授予魏尔斯特拉斯名誉博士学位，并亲赴不伦斯堡颁发证书。

　　在库默尔推荐下，1856年柏林大学聘任魏尔斯特拉斯为副教授。11月19日，他当选为柏林科学院院士。1864年成为柏林大学教授。

　　在柏林大学就任后，魏尔斯特拉斯即着手系统建立数学分析（包括复分析）的基础，并进一步研究椭圆函数与阿贝尔函数。几年以后他就闻名遐尔，成为德国以至全欧洲知名度最高的数学教授。
魏尔斯特拉斯于1973年出任柏林大学校长。紧张的工作影响了他的健康，但其智力未见衰退。他的70华诞庆典规模颇大，遍布全欧各地的学生赶来向他致敬。10年后的80大寿更加隆重，在某种程度上，他简直被看作德意志的民族英雄。

　　魏尔斯特拉斯与柯瓦列夫斯卡娅的友谊，是他后期生活中的一件大事。柯瓦列夫斯卡娅于1869年在海德堡大学师事柯尼斯伯格，后者是魏尔斯特拉斯早期弟子之一。1870年秋，年方20、聪慧美丽的柯瓦列夫斯卡娅见到了魏尔斯特拉斯，后者发现了她的优异天赋，试图说服柏林大学评议会同意她听课，但遭拒绝。于是他抽出业余时间为她免费讲课，每周两次，一直持续到1874年秋，并帮助她以关于偏微分方程的著名论文在哥廷根获得学位。1888年，柯瓦列夫斯卡娅以刚体绕定点运动的研究获得巴黎科学院大奖，这对于他是极大慰藉。两年后她的去世则是对他一个沉重打击，以至他烧毁了她写给他的全部信件。

　　1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，后转为肺炎，于2月19日溘然长逝，享年82岁。

　　魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析的严格化潮流中，以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。他引进了一致收敛的概念，并由此阐明了连续函数项级数的逐项积分和微分的定理。在建立分析基础过程中，引进了实数轴和n维欧氏空间中一系列拓扑概念，并将黎曼积分推广到在一个可数集上不连续的函数上。1872年，魏尔斯特拉斯给出了第一个处处连续但处处不可微函数的例子，使人们意识到连续性与可微性的差异，由此引出了一系列诸如皮亚诺曲线等反常性态的函数的研究。

　　魏尔斯特拉斯以其解析函数理论与柯西、黎曼同为复变函数论的奠基人。克莱因在比较魏尔斯特拉斯与黎曼时说："黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才 胜过所有时代的数学家。……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢的、系统的逐步前进。在他工作的分支中，他力图达到确定的形式。"庞加莱写到："黎曼的方法首先是一种发现方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法。"

魏尔斯特拉斯函数【具体介绍】
德国数学家维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815－1897）于1872年(可能在1861年已经构造，但1872年才正式发表）利用函数项级数构造出了人们认识到的第一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结。
在维尔斯特拉斯的原始论文中，这个函数被定义为：
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这里0 < a < 1, b是奇整数，且
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这个构造过程，连同处处不可导的证明，发表在维尔斯特拉斯的论文（“K&#246;nigliche Akademie der Wissenschaften” on July 18, 1872.）中。
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