ADC重要的信噪比公式是怎么来的？

硬件电子工程师

做过数据采集或者模拟电路的同学很可能知道下面这个关于ADC信噪比的著名公式：

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其中N是ADC的位数，比如对于一个10bit的ADC，N=10，当ADC采集一个满量程的正弦波时，那么信噪比SNR=6.02*10+1.76=61.96dB，那么这个公式是怎么来的呢？
ADC量化噪声
8 ^1 s+ M( B/ H& X5 N( x下图是理想ADC的量化噪声示意图，从下图可以看到，对于一个线性输入的模拟信号，ADC会产生台阶式的输出，这个输入和输出的误差波形近似于一个峰峰值q=1LSB的锯齿波，它的有效值RMS计算过程见公式(2)（q=1LSB），LSB计算过程见公式(3)，其中FS是ADC的输入电压范围，。
2 J: v5 e, T# b5 _" \

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' b) D$ d) n  h! f: ]

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: x+ D# ?% _7 `+ A6 XSNR
以前的文章介绍过SNR计算过程，信噪比是信号的有效值（RMS）除以噪声的有效值（RMS），

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对于一个满量程输入的正弦信号见公式(5)，根据公式(5)可以求得公式(6)，
2 ^+ d; k/ D) l

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1 N' y' o5 v0 ]5 E  J6 T对于满量程ADC而言，其输入范围是0-FS，那么输入的正弦信号的幅度范围就是0-Fs/2，见下图示意图，因此公式(5)中的分母是2
, I8 ^6 y- e$ \: }! f! W5 j1 \

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9 q6 n" V3 h( u& sADC信噪比SNR与位数N
那么到目前为止，我们知道了信号的有效值（RMS），即公式(6)，也知道了ADC量化噪声的有效值（RMS），即公式(2)。把公式(6)和公式(2)带入公式(4)得到公式(7)：
( o! p* e0 V- l3 j5 D, q  _. V9 j3 Y- m

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公式(7)不够简化，我们继续化简（高中学的指数运算规则），可以得到公式(8)，
8 |) {8 L5 Y5 `' r5 J& n" E

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由此我们就推导出了ADC位数N与信噪比SNR的关系，是不是和公式(1)一模一样？
多说几句
$ l( W8 |4 l: a% O9 F2 y4 w! }上式的成立条件是信号带宽比较高。
: T) Z4 q1 @8 x1 @! H. n! |如果信号带宽（或者说频率）很低，低于奈奎斯特采样频率fs/2，那么这会导致信号带宽范围内的噪声减小，进而使得SNR增加。
- r3 l5 t* F8 z* o这就是常说的过采样，详细内容后面后机会在介绍。
另一点值得说明的是，在评估噪声时，常用到频谱分析，频谱的本底噪声值与采样点数量有关。
如果采样点多，那么本底噪声就会低，如果采样点数量减小，那么本底噪声就会增加，这被称为FFT增益。
因此在噪声分析时，最好要自始至终使用相同数量的采样点进行分析，避免被不正确的评估方法误导。