ADC重要的信噪比公式是怎么来的？

硬件电子工程师

做过数据采集或者模拟电路的同学很可能知道下面这个关于ADC信噪比的著名公式：

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其中N是ADC的位数，比如对于一个10bit的ADC，N=10，当ADC采集一个满量程的正弦波时，那么信噪比SNR=6.02*10+1.76=61.96dB，那么这个公式是怎么来的呢？
$ {! V2 r# b7 l; t% i+ \+ KADC量化噪声
下图是理想ADC的量化噪声示意图，从下图可以看到，对于一个线性输入的模拟信号，ADC会产生台阶式的输出，这个输入和输出的误差波形近似于一个峰峰值q=1LSB的锯齿波，它的有效值RMS计算过程见公式(2)（q=1LSB），LSB计算过程见公式(3)，其中FS是ADC的输入电压范围，。

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* {4 Y4 }3 K  J* P; b+ c

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% x4 f2 C9 R9 c. [5 X3 V8 I9 a. U9 d- J+ ?SNR
以前的文章介绍过SNR计算过程，信噪比是信号的有效值（RMS）除以噪声的有效值（RMS），

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+ S4 c) z; u1 _/ Y: G) m+ c9 [
7 Y& \% N4 z2 S5 G2 m2 k对于一个满量程输入的正弦信号见公式(5)，根据公式(5)可以求得公式(6)，

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对于满量程ADC而言，其输入范围是0-FS，那么输入的正弦信号的幅度范围就是0-Fs/2，见下图示意图，因此公式(5)中的分母是2
% t3 {. q: k$ g' j- }0 q- @$ Q

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ADC信噪比SNR与位数N
2 ?5 i5 r4 F6 K9 ?1 D1 a9 ?9 ]' f  L1 e那么到目前为止，我们知道了信号的有效值（RMS），即公式(6)，也知道了ADC量化噪声的有效值（RMS），即公式(2)。把公式(6)和公式(2)带入公式(4)得到公式(7)：
; e3 }# e& F* B: L" \) E; M

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公式(7)不够简化，我们继续化简（高中学的指数运算规则），可以得到公式(8)，

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由此我们就推导出了ADC位数N与信噪比SNR的关系，是不是和公式(1)一模一样？
9 S( O" @, q9 l: y" \多说几句
7 I2 C2 p/ W% E上式的成立条件是信号带宽比较高。
如果信号带宽（或者说频率）很低，低于奈奎斯特采样频率fs/2，那么这会导致信号带宽范围内的噪声减小，进而使得SNR增加。
4 |# z# I: b# J. M这就是常说的过采样，详细内容后面后机会在介绍。
另一点值得说明的是，在评估噪声时，常用到频谱分析，频谱的本底噪声值与采样点数量有关。
如果采样点多，那么本底噪声就会低，如果采样点数量减小，那么本底噪声就会增加，这被称为FFT增益。
* n0 l3 H  {  z6 X因此在噪声分析时，最好要自始至终使用相同数量的采样点进行分析，避免被不正确的评估方法误导。